#import "labtemplate.typ": *
#show: nudtlabpaper.with(
  author: "程景愉", 
  id: "202302723005", 
  title: "贝叶斯网络编程实验",
  training_type: "普通本科生",
  grade: "2023级",
  major: "网络工程",
  department: "计算机学院",
  advisor: "祝恩",
  jobtitle: "教授",
  lab: "306-707",
  date: "2025.12.31",
  header_str: "贝叶斯网络编程实验报告",
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)

#set page(header: [
    #set par(spacing: 6pt)
    #align(center)[#text(size: 11pt)[人工智能实验报告]]
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    #line(length: 100%, stroke: (thickness: 1pt))
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#show heading: it => if it.level == 1 [
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#pagebreak()

= 实验介绍
#para[
  本次实验旨在实现并比较两种贝叶斯网络近似推理算法：拒绝采样（Rejection Sampling）和似然加权（Likelihood Weighting）。
  实验使用的贝叶斯网络模型包含四个布尔变量：Cloudy (C), Sprinkler (S), Rain (R), WetGrass (W)。
  网络结构为 $C \to S, C \to R, S \to W, R \to W$。
  实验目标是根据给定的条件概率表（CPTs），在已知证据 $S=T$ 和 $W=T$ 的情况下，估计 $R=T$ 的后验概率 $P(R=T | S=T, W=T)$。
]

= 实验内容
#para[
  实验主要包含以下内容：
]
+ 根据题目描述的贝叶斯网络结构和条件概率表，构建数据结构表示该网络。
+ 实现拒绝采样算法：从先验分布中采样，拒绝与证据不一致的样本，利用保留样本中查询变量的频率作为后验概率的估计。
+ 实现似然加权算法：固定证据变量的值，对非证据变量进行采样，并根据证据变量的条件概率计算样本权重，利用加权频率估计后验概率。
+ 比较两种算法在不同采样数量（N=100, 1000, ...）下的估计结果与真实值的偏差，分析算法收敛性。

= 实验情况
+ 使用 Python 语言实现算法。
+ 代码需清晰易读，包含必要的注释。
+ 计算并输出 $P(R=T | S=T, W=T)$ 的精确值以便对比。
+ 撰写实验报告，展示核心代码和实验结果。

= 实验步骤与实现

== 网络定义与概率表
首先定义网络的条件概率表（CPTs）。
```python
# CPTs
P_C = {True: 0.5, False: 0.5}

# P(S | C)
P_S_given_C = {
    True: {True: 0.10, False: 0.90},  # C=T
    False: {True: 0.50, False: 0.50}  # C=F
}

# P(R | C)
P_R_given_C = {
    True: {True: 0.80, False: 0.20},  # C=T
    False: {True: 0.20, False: 0.80}  # C=F
}

# P(W | S, R)
P_W_given_SR = {
    (True, True): {True: 0.99, False: 0.01},
    (True, False): {True: 0.90, False: 0.10},
    (False, True): {True: 0.90, False: 0.10},
    (False, False): {True: 0.00, False: 1.00}
}
```

== 拒绝采样 (Rejection Sampling)
拒绝采样通过生成先验分布的样本，并丢弃那些与证据不符的样本来工作。
```python
def rejection_sampling(query_var, query_val, evidence, num_samples):
    consistent_count = 0
    query_match_count = 0
    
    for _ in range(num_samples):
        sample = get_prior_sample() # 从联合分布采样
        
        # 检查样本是否与证据一致
        is_consistent = True
        for var, val in evidence.items():
            if sample[var] != val:
                is_consistent = False
                break
        
        if is_consistent:
            consistent_count += 1
            if sample[query_var] == query_val:
                query_match_count += 1
                
    if consistent_count == 0: return 0.0
    return query_match_count / consistent_count
```

== 似然加权 (Likelihood Weighting)
似然加权强制证据变量取观测值，并将样本权重设为证据变量在其父节点给定情况下的似然概率乘积。
```python
def likelihood_weighting(query_var, query_val, evidence, num_samples):
    weighted_counts = {True: 0.0, False: 0.0}
    
    for _ in range(num_samples):
        weight = 1.0
        sample = {}
        
        # 以 C, S, R, W 的拓扑顺序采样/赋值
        # 若变量在证据中，则赋值为证据值并更新权重
        # 若变量不在证据中，则根据父节点采样
        # (代码细节略，参见附件源程序)
        # ...
            
        # 累加权重
        weighted_counts[sample[query_var]] += weight
        
    total_weight = sum(weighted_counts.values())
    if total_weight == 0: return 0.0
    return weighted_counts[query_val] / total_weight
```

= 实验结果
#para[
  首先通过精确计算（枚举联合概率分布）得到理论真实值：
  $P(R=T | S=T, W=T) approx 0.320388$
]

#para[
  下表展示了在不同采样数量 $N$ 下，两种算法的估计结果：
]

#table(
  columns: (auto, auto, auto),
  inset: 10pt,
  align: center,
  [*样本数量 N*], [*拒绝采样结果*], [*似然加权结果*],
  [100], [0.480000], [0.377902],
  [1000], [0.353741], [0.311148],
  [10000], [0.320734], [0.317552],
  [100000], [0.318791], [0.321722],
  [1000000], [0.319916], [0.319471],
)

= 实验总结

+ *收敛性*：从实验结果可以看出，随着采样数量 $N$ 的增加，拒绝采样和似然加权算法的结果都逐渐收敛于真实值 $0.320388$。

+ *算法比较*：
  - *拒绝采样*：实现简单，直接利用先验分布采样。但在证据概率较低时（本例中证据发生的概率约为 0.278，尚可），会拒绝大量样本，导致计算资源浪费。在样本量较小（如 N=100）时波动较大。
  - *似然加权*：利用了证据信息，所有生成的样本都是有效的（权重不为0），因此在相同采样数量下，通常能提供比拒绝采样更稳定的估计，尤其是当证据发生概率很低时优势更明显。

+ *结论*：两种算法均能有效进行近似推理。对于本实验中的简单网络和非极端概率证据，两者在 $N=10000$ 以上时均能给出较好的估计结果。