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#set page(paper: "a4", margin: 2cm)
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#set text(font: ("Noto Sans CJK SC", "SimSun"), size: 10.5pt)
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#set heading(numbering: "1.")
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#align(center)[
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#block(text(weight: "bold", size: 18pt)[人工智能课程ch07-09逻辑作业报告])
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= 命题逻辑合取范式转换
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*题目：* 求 $(P and (Q -> R)) -> S$ 的合取范式。
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*解答：*
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1. 消去蕴含符号：
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$ not (P and (not Q or R)) or S $
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2. 应用德·摩根定律：
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$ (not P or not (not Q or R)) or S $
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$ (not P or (Q and not R)) or S $
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3. 应用分配律：
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$ ((not P or Q) and (not P or not R)) or S $
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4. 再次应用分配律（将 $S$ 结合进去）：
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$ (not P or Q or S) and (not P or not R or S) $
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*最终结果：* $(not P or Q or S) and (not P or not R or S)$
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= 复合语句分析
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*题目：* 考虑语句 $[((F or D) => P) or (M => P)] => [(F and M) => P]$ (简写变量名)。
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*(a) 通过枚举模型判断有效性：*
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设 $F, D, M, P$ 为布尔变量。考虑一种情况：使结论 $(F and M) => P$ 为假。
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只有当 $F=T, M=T, P=F$ 时，结论为假。
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代入左边：$[((T or D) => F) or (T => F)] equiv [F or F] equiv F$。
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由于“假 $=>$ 假”为真，该语句在所有使结论为假的解释下依然为真。经穷举，该语句在所有解释下均为真。
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*结论：* 该语句是 *有效的 (Valid)*。
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*(b) 转换为合取范式 (CNF)：*
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左边 (L)：$((F or D) => P) or (M => P)$
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$ equiv (not(F or D) or P) or (not M or P) $
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$ equiv (not F and not D) or P or not M or P $
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$ equiv (not F or not M or P) and (not D or not M or P) $
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右边 (R)：$(F and M) => P equiv not F or not M or P$
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全式 $L => R equiv not L or R$：
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由于 $R$ 已经是 $L$ 的一个合取项，根据 $(A and B) => A$ 永远为真，转换结果支持了有效性结论。
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= 一阶逻辑翻译 (基础谓词)
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*题目要求：使用给定谓词表示语句。*
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1. *有一门课所有老师都教授：*
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$ exists c ("Course"(c) and forall t ("Teacher"(t) => "Teach"(t, c))) $
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2. *恰有一门课由 "Alice" 教授且被 "Bob" 选修：*
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$ exists c ("Course"(c) and "Teach"("Alice", c) and "Study"("Bob", c) and forall c' (("Teach"("Alice", c') and "Study"("Bob", c')) => c = c')) $
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3. *所有老师教授的课程都至少有一个学生选修：*
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$ forall t forall c (("Teacher"(t) and "Teach"(t, c)) => exists s ("Student"(s) and "Study"(s, c))) $
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4. *有一个学生选修了 "Alice" 教授的所有课程：*
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$ exists s ("Student"(s) and forall c ("Teach"("Alice", c) => "Study"(s, c))) $
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= 一阶逻辑翻译 (自定义谓词)
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*自定义谓词：* $"Fail"(s, c)$ 表示 $s$ 考试缺考；$"Pass"(s, c)$ 表示 $s$ 通过课程 $c$；$"Borrow"(s, b)$ 表示学生 $s$ 借阅书 $b$。
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1. *有老师只教授了一门课程：*
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$ exists t ("Teacher"(t) and exists c ("Teach"(t, c) and forall c' ("Teach"(t, c') => c' = c))) $
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2. *如果一名学生缺考，他就无法通过该课程：*
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$ forall s forall c (("Student"(s) and "Course"(c) and "Fail"(s, c)) => not "Pass"(s, c)) $
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3. *没有一本书被两名学生同时借出：*
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$ not exists b exists s_1 exists s_2 ("Book"(b) and "Student"(s_1) and "Student"(s_2) and s_1 != s_2 and "Borrow"(s_1, b) and "Borrow"(s_2, b)) $
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= 推理有效性论证 (归结证明法)
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*前提：* 所有的智能手机都是电子设备。 $forall x ("Smartphone"(x) => "ElectronicDevice"(x))$
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*结论：* 任何智能手机的制造商都是电子设备制造商。 $forall x forall y (("Smartphone"(x) and "ManufacturedBy"(x, y)) => exists z ("ElectronicDevice"(z) and "ManufacturedBy"(z, y)))$
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*归结证明步骤：*
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1. *前提子句化：*
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$C_1: not "Smartphone"(x) or "ElectronicDevice"(x)$
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2. *结论否定并子句化：*
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$not [forall x forall y (("Smartphone"(x) and "ManufacturedBy"(x, y)) => exists z ("ElectronicDevice"(z) and "ManufacturedBy"(z, y)))]$
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引入常量 $S, M$ (Skolemization)：
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$C_2: "Smartphone"(S)$
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$C_3: "ManufacturedBy"(S, M)$
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$C_4: not "ElectronicDevice"(z) or not "ManufacturedBy"(z, M)$
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3. *推导矛盾：*
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- 由 $C_1$ 和 $C_2$ (置换 $\{x/S\}$): $"ElectronicDevice"(S) (C_5)$
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- 由 $C_4$ 和 $C_3$ (无法直接归结，但由于 $S$ 满足 $"ManufacturedBy"(S, M)$):
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将 $C_4$ 中的 $z$ 置换为 $S$: $not "ElectronicDevice"(S) (C_6)$
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- $C_5$ 与 $C_6$ 归结产生空子句 $square$。
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*结论：* 推理有效。
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